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Hauteur d'un tétraèdre

L'animation ci-dessous a été réalisée avec JMath3D , programme Java permettant de faire des animations en trois dimensions. Elle illustre le problème suivant :

Dans un repère orthonormal le point A a pour coordonnées (3;-2;2), B a pour coordonnées (6;1;5), C a pour coordonnées (6;-2;-1) et D a pour coordonnées (0;4;-1). On montre facilement que ABC est rectangle en A et que la droite (AD) est orthogonale au plan (ABC).

On demande de calculer le volume du tétraèdre ABCD, de montrer que l'angle BDC mesure π/4 , de calculer l'aire du triangle BCD et de calculer la distance de A au plan (BCD).





E est le projeté orthogonal de A sur le plan (ABC).

  1. calcul du volume : comme AB=3√3, AC=3√2 et AD=3√6, le triangle ABC a pour aire 9√6/2 u.a. et le volume du téraèdre est 9√6/2 ×3√6/3=27 u.v.
  2. calcul de l'angle BDC : comme le produit scalaire des vecteurs DB et DC est 54, que les vecteurs DB et DC ont pour norme 9 et 6√2, le cosinus de l'angle BDC est égal à √2/2 d'où le résultat.
  3. Dans le triangle BCD, on prend comme base CD=6√2 et comme hauteur DB× sin(π/4)=9×√2/2 ce qui donne une aire de BCD égale à 27 u.a.
  4. calcul de la distance AE : L'idée est de calculer d'une autre façon le volume du tétraèdre. En effet ce volume est égal au tiers de l'aire de BCD multipliée par AE; cela donne AE=3

Vous pouvez prendre le contrôle de l'animation avec la souris.

fait le 29 avril 2008