Méthode d'Euler

le principe

On sait que f est dérivable sur [0;1] , que f(0)=0 et f'(x)=1/(1+x2). On voudrait évaluer f(1)

L'idée est d'utiliser la formule de l'approximation affine : f étant dérivable sur un intervalle contenant a et a+h, on peut écrire : f(a+h)≈f(a)+h.f'(a)

avec un pas de 0,1

On découpe l'intervalle [0;1] en 10 intervalles de même longueur 0,1( on dit que le pas est de 0,1 )

En prenant h=0,1 : comme f(0)=0 et f'(0)=1/(1+02)=1, on peut évaluer f(0,1)≈0+0,1×1≈0,1

Maintenant on s'appuye sur l'égalité f(0,1)=0,1 et on évalue f(0,2) avec le même principe : f(0,2)≈f(0,1)+0,1× f'(0,1) et donc on rajoute à f(0,1) la quantité : 0,1× f'(0,1).

Ensuite on obtiendra f(0,3) en rajoutant au résultat précédent 0,1×  f'(0,2) et, de proche en proche, on obtiendra une valeur approchée de f(1) .

avec un pas plus fin

En prenant un pas plus fin, on a des chances d'obtenir une meilleure précision. Un tableur nous gagnera beaucoup de temps…

avec un tableur

On découpe l'intervalle en 10 000 et le pas est donc de 0,0001.

Au bout de 10 000 lignes on obtient : f(1)≈0,785423 alors que la valeur théorique est, à 10-6près, 0,785398 ; l'erreur commise est donc inférieure à 3x10 -5



Vous pouvez récupérer le début du tableur au format .xls avec Excel ou Open Office ; il vous reste à recopier les formules jusqu'à la ligne 10 000. Bon courage…