fonctions utilisées : mod( ;), equiv( ; ; ); recherche( ; ; )

Puissances modulo m

Le problème

On travaille sur les puissances de 35 modulo 47 et on cherche le plus petit exposant naturel n tel que 35n ≡ 1 modulo 47.

Mise en place

  1. On crée la liste des exposants dans la colonne A;
  2. on place 35 dans E2 et 47 dans E3
  3. dans B2 on saisit =MOD(E2;E3) ;
  4. dans B3 on saisit =MOD(B2*E$2;E$3) on bloque les cellules E2 et E3 ;
  5. on recopie la formule vers le bas

Il reste à donner l'exposant de 35 qui va être égal à 1 modulo 47.

Les fonctions de recherche

La fonction EQUIV

Ici, on appellera vecteur une plage sur une seule colonne.

En saisissant dans E5 =EQUIV(1;B2:B51;0), on obtient 46 ce qui correspond bien à la valeur cherchée.

On demande à OpenOffice de rechercher 1 dans le vecteur B2:B51 et il renvoie le numéro de la ligne donnant 1. Attention : ce n'est pas le numéro de ligne du tableur mais le numéro de ligne du vecteur. On obtient 46 car on est à la 46eme ligne du vecteur (mais à la ligne 47 du tableur).

Le paramètre 0 indique qu'on veut exactement 1 et non la valeur la plus proche.

Cette méthode marche aussi avec Excel.


La fonction RECHERCHE

Une autre possibilité consiste à saisir dans E5 =RECHERCHE(1;B2:B51;A2:A51).

On cherche 1 dans le vecteur B2:B51 et on affiche le terme correspondant dans le vecteur A2:A51


Cette formule ne marche pas de la même façon avec Excel

Conclusion

Maintenant on sait que 3546 ≡ 1 modulo 47 donc on peut calculer facilement toute puissance de 35 modulo 47.

fait le 31 mai 2008