Produit de deux nombres aléatoires

Cette page est le complément de ce formulaire Javascript qui fait allusion à la loi de Benford et de ce travail sur tableur .

Le problème

L'expérience consiste à choisir deux réels strictement positifs choisis au hasard, à calculer leur produit et à noter N le premier chiffre significatif du résultat obtenu, c'est-à-dire le premier chiffre non nul du développement décimal du résultat.

modélisation

premier chiffre significatif

Un nombre non nul s'écrit en notation scientifique sous la forme a×10m avec a∈ [1;10[ et m∈Z.Le réel aest parfois appelé mantisse. Le nombre qui nous intéresse est la partie entière de la mantisse a. Par exemple 123,456=1,23456×102 et la partie entière de 1,23456 est 1. On remarque que ce nombre ne dépend pas de m.

représentation géométrique

Dans le problème qui nous intéresse, la variable aléatoire N dépend seulement de la mantisse de chacun des deux nombres pris au hasard ; cette mantisse va être supposée suivre une loi uniforme sur [1;10[. L'univers associé à l'expérience va être représenté par un carré défini dans un repère orthonormal par 1<x<10 et 1<y<10 (x étant la mantisse du premier nombre aléatoire, y celle du second. Son aire est 81 u.a.

calcul

On va dessiner dans ce carré les zones qui correspondent à N=4. On a N=4 si et seulement si le produit xy est dans [4;5[∪[40;50[ ce qui sur le carré correspond à l'ensemble colorié en bleu.

Cherchons l'aire de cet ensemble : c'est la somme de quatre intégrales.

On admet que la probabilité de N=4 est égale au quotient de l'aire de l'ensemble colorié par celle du carré ce qui va donner

et plus généralement

Les valeurs numériques

Les valeurs numériques montrent que la loi de N est loin d'être équirépartie.


Produit de trois nombres

Mon excellent camarade Pascal Guelfi a poussé plus loin l'aventure et il a eu l'amabilité de me communiquer la formule suivante qui correspond au produit de trois nombres aléatoires non nuls.
On peut vérifier cette loi en choissant n=3 sur le formulaire Javascript de la page vers Benford .