Pour pouvoir utiliser l' appliquette Java ci-dessous, il est nécessaire de disposer de l'environnement Java de SUN téléchargeable gratuitement ici .

Orthogonalité

Vous pouvez prendre le contrôle de l'animation avec la souris.

L'animation ci-dessus a été réalisée avec JMath3D , programme Java permettant de faire des animations en trois dimensions. Elle illustre le problème suivant :

OABC est un tétraèdre tel que les triangles OAB, OAC et OBC sont rectangles et isocèles en O. I est le projeté orthogonal de O sur (AB) et H est le projeté orthogonal de O sur (IC).

Il faut donner la nature de ABC , montrer que (OH) et (AB) sont orthogonaux et que H est l'orthocentre de ABC.

Aide

Il est recommendé de lire attentivement la page de rappel .

Il est aussi recommandé de lire attentivement la présentation sur l'orthogonalité dans l'espace .

Une solution

ABC est un triangle équilatéral car AB²=OA²+OB², AC²=OA²+OC² et BC²=OC²+OB² avec OA=OB=OC

Pour montrer que (OH)⊥(AB), on cherche un plan orthogonal à (AB). Le plan (OCI) est orthogonal à (AB) en effet (OCI) est le plan médiateur de [AB] puisque OA=OB, CA=CB et IA=IB. Cette derniére propriété vient du fait que la hauteur du triangle isocèle (OAB) est aussi sa médiane. On peut conclure : comme (OH) est incluse dans le plan (OCI), elle est orthogonale à (AB).

On va montrer que (AH)⊥(BC) .

On a vu que (OH)⊥(AB) et on sait que (OH)⊥(IC); comme (AB) et (IC) sont deux droites non parallèles du plan (ABC), on en déduit (OH)⊥(ABC) et par conséquent (OH)⊥(BC).
On a (OA)⊥(OBC) donc (OA)⊥(BC);
Comme (OH) et (OA) ne sont pas parallèles , on peut déduire des deux points précédents (OHA)⊥(BC) et donc (AH)⊥(BC)

Comme H appartient à deux hauteurs du triangle (ABC), c'est l'orthocentre de (ABC).

Vous trouvez cela difficile ? Moi aussi.

fait le 30 avril 2008