Devoirs de vacances avec Python

Voici mes devoirs de vacances : des petits problèmes de maths à illustrer avec Python.

énoncé 1

L'exo 1 et 10 sont les plus difficiles…

Écrire 13 sous la forme ±12±22±32…±n2

Théorème d'Erdös Suranyi


énoncé 2

Donner le premier nombre naturel qui s'écrit de deux façons différentes comme somme de deux cubes de naturels non nuls. (Ce nombre est inférieur à 10 000).

Ramanujuan, Hardy, taxi…

J'ai reçu un très bon script d' Arnaud Kientz qui est basé sur l'utilisation de listes et qui est bien meilleur.

G. H. Hardy à propos de Ramanujan « Je me rappelle qu'une fois en allant le voir lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre semblait plutôt ennuyeux, et j'espérai qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes en deux manières différentes.»


énoncé 3

Faire la liste de tous les naturels inférieurs à 1000 que l'on ne peut pas écrire comme la somme d'au moins deux naturels consécutifs. Que peut-on conjecturer?

Suggéré par Philippe Bouquet.


énoncé 4

On pose un=12+22+32+…+n2. Trouver un n supérieur à 2 tel que un soit un carré parfait.


énoncé 5

On pose un=1/1+1/2+1/3+…1/n pour n supérieur à 2. Afficher tous les un sous la forme d'une fraction irréductible pour n inférieur ou égal à 100. Quelle conjecture sur un nous permettrait de prouver que un n'est pas entier?

Le plus simple ici est d'utiliser le module fractions qui est intégré à Python depuis la version 2.6


énoncé 6

Quel est le plus grand naturel n que l'on ne peut écrire sous la forme n=13a+17b+19c avec a,b et c naturels ?

suggéré par Pascal Guelfi

Se fait en trois lignes...


énoncé 7

Une suite de syracuse est définie par u0=a et un+1 est égal à un/2 si un est pair et à 3un+1 siun est impair. On appelle temps de vol d'une telle suite le plus petit indice p tel que up=1.

Comment choisir a inférieur ou égal à 100 tel que le temps de vol soit maximal.

voir cette page


énoncé 8

On dispose de 20 EUR et on joue à pile ou face. Chaque pile nous fait gagner 1 EUR et chaque face nous fait perdre 1 EUR. On joue tant qu'il reste de l'argent et, dans ce cas, on arrête au bout de 1 000 épreuves et on compte son gain.

Simuler une telle épreuve, on demande d'afficher, si l'on a gagné, la valeur du gain et, si l'on a perdu, combien et au bout de combien d'épreuves.


énoncé 9

Une épreuve consiste à faire le produit de 20 nombres aléatoires (loi uniforme sur [0;1[) et à noter le premier chiffre non nul du produit obtenu. Faire des statistiques sur une simulation de 1000 épreuves. Que remarque-t-on ?


énoncé 10 : Travail sur une image

Ouvrir une image dont les dimensions sont des multiples de 16 et remplacer chaque carré de 16 pixels par 16 pixels identiques dont la valeur est la moyenne des 16 pixels originaux

Voir un exemple de solution sur cette page

fait le 28 octobre et le 1er novembre 2009



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