Méthode d'Euler
le principe
On sait que f est dérivable sur [0;1] , que f(0)=0 et f'(x)=1/(1+x2). On voudrait évaluer f(1)
f(a+h)≈f(a)+h.f'(a)
avec un pas de 0,1
On découpe l'intervalle [0;1] en 10 intervalles de même longueur 0,1( on dit que le pas est de 0,1 )
En prenant h=0,1 : comme f(0)=0 et f'(0)=1/(1+02)=1, on peut évaluer f(0,1)≈0+0,1×1≈0,1
Maintenant on s'appuye sur l'égalité f(0,1)=0,1 et on évalue f(0,2) avec le même principe :
f(0,2)≈f(0,1)+0,1× f'(0,1) et donc on rajoute
à f(0,1) la quantité : 0,1× f'(0,1).
Ensuite on obtiendra f(0,3) en rajoutant au résultat précédent 0,1× f'(0,2) et, de proche en proche, on obtiendra une valeur approchée de f(1) .
avec un pas plus fin
En prenant un pas plus fin, on a des chances d'obtenir une meilleure précision. Un tableur nous gagnera beaucoup de temps…avec un tableur
On découpe l'intervalle en 10 000 et le pas est donc de 0,0001.
- On tape 0 dans A4 puis dans A5 :
=A4+0,0001et on recopie la formule vers le bas jusqu'à la ligne 10 004 -
On tape dans C4 :
=1/(1+A4^2)(recopie vers le bas) - On tape 0 dans B4 et dans B5 :
=B4+C4*0,0001(cette formule traduisant : f(a+h)≈f(a)+h.f'(a) ) (recopie vers le bas)
Au bout de 10 000 lignes on obtient : f(1)≈0,785423
alors que la valeur théorique est, à 10-6près, 0,785398 ; l'erreur commise est donc inférieure à 3x10 -5
Vous pouvez récupérer le début du tableur au format .xls avec Excel ou Open Office ; il vous reste à recopier les formules jusqu'à la ligne 10 000. Bon courage…