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Premier chiffre d'un produit

le principe

On s'intéresse au premier chiffre du produit de deux entiers compris entre 1 et 99. Parmi les entiers compris entre 1 et 99, il y en a 11 qui commencent par 1, 11 qui commencent par 2, …

avec un tableur

On crée une table de multiplication

• Les bords sont créés facilement: 1 dans B1, =B1+1 dans B2 et on tire vers la droite; puis même travail verticalement;
• dans B2 on saisit =$A2*B$1

Mais on veut seulement afficher le premier chiffre.

• Pour cela, on va transformer le nombre en chaîne de caractère grâce à la fonction base( ;10) ( c'est 10 parce que on représente le nombre en base 10).
• La fonction gauche() extrait le premier terme d'une chaîne de caractères.
• Finalement dans B2 on saisit =GAUCHE(BASE($A2*B$1; 10)).
• Il reste à recopier la formule vers le bas jusqu'à B100 puis CV100 .

On peut compter les 1, les 2 … avec des formules du genre =NB.SI($B$2:$CV$100;"1")

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Attention

• À part sur les bords, les cellules de la table de multiplication ne contiennent pas des nombres mais des chaînes de caractères formées d'un seul caractère, donc on ne compte pas les 1 mais les "1".
• Si on recopie cette formule vers le bas ou la droite, le "1" restera "1" car ce n'est pas un nombre; il faut donc modifier « à la main »
• Si on recopie, il faut penser à mettre les $ dans la plage $B$2:$CV$100

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des résultats étonnants

On peut faire le bilan de la répartition.

On constate que les 1 sont les plus nombreux, puis les 2, les 3…

Maintenant nous multiplions tous ces 9801 résultats par 2. On obtient

On constate que les 1 sont encore plus nombreux…

On constate rapidement que quelque soit le nombre par lequel on multiplie, les 1 sont les plus nombreux, avec une fréquence qui varie à peu près, me semble-t-il entre 22% et 37% .

changeons de base

Si on exprime les nombres en base 7, par exemple, on constate que les 1 sont toujours les mieux représentés.
Ci-dessus une capture d'écran pour la base 4; on voit bien que les 1, en jaune sont les plus représentés.