La fonction carré complexe

le problème

On considére l'application φ du plan qui au point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z². On veut représenter l'image par φ du rectangle ABCD.

L'illustration du problème par une application geogebra

Sur l'application ci-dessous vous pouvez déplacer le point G sur le segment CD et voir son image G' se déplacer. Vous pouvez aussi, si cela vous amuse déplacer les points A,B,C et D. Pour les remettre à leur place, il suffit de rafraîchir la page.

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Patrick Roux, 10 mars 2007, Créé avec GeoGebra

obtention de la figure

On commence par définir le rectangle ABCD. On saisit dans la barre de commande


A=(-0.2,0.3)
B=(0.8,0.3)
C=(0.8,0.8)
D=(-0.2,0.3)
P=Polygone[A,B,C,D]

On valide avec Entrée à la fin de chaque ligne.

Avec la souris on crée un point F sur le segment [BC]. On pourra déplacer F mais il sera astreint au segment [BC].


f=Longueur[F]
af=Angle[F]
F'=(f^2;2*af)
Lieu[F',F]

Ensuite on récupère le module et l'argument de l'affixe de F dans les deux premières lignes, puis on crée un point F' que l'on définit en coordonnées polaires (cela se repère au point-virgule qui remplace la virgule). On élève le module au carré et on double l'argument.Enfin, on demande le lieu de F' quand F décrit le segment [BC].

On recommence la même chose pour les quatre segments et on fait quelques interventions cosmétiques : on cache certains éléments de construction, on met de la couleur et on insère du texte; on peut même utiliser du code LaTeX. Ici on a écrit $z\mapsto z^2$ .