droite paramétrée.

L'inversion

Le problème

On considère la fonction f qui au point M d'affixe z non nulle associe le point M' dont l'affixe est l'inverse du conjugué de z et on cherche l'image d'une droite par cette fonction que l'on appelle l'inversion.<

Si on appelle r le module de l'affixe de M et a un argument, un petit calcul montre que M' a pour coordonnées polaires 1/r et a.

L'illustration du problème par une application geogebra

Avec le curseur (cliquer sur le gros point), on peut modifier la position de M sur la droite (UV) et on voit se déplacer simultanément M'.

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Patrick Roux, 15 mars 2007, Créé avec GeoGebra

la construction

On crée un curseur que l'on nomme t, puis


U=(1,0)
V=(0,1)
M=U+t*(V-U)
r=Longueur[M]
a=Angle[M]
r'=1/r
M'=(r';a)

Aux ligne 3,4 et 5, on voit que le point M est interprété comme le vecteur OM. La ligne 3 repose sur la représentation paramétrique d'une droite, les lignes 4 et 5 sur l'idée de module et d'argument. Remarquer le point-virgule pour la définition de M' en coordonnées polaires.