Distances aléatoires sur un segment
Le problème
Image obtenue avec GeoGebra.
On définit deux points dont les abscisses sont aléatoires et les ordonnées nulles. Les abscisses suivent une loi uniforme sur [0;1] et on voudrait connaître la distance moyenne entre ces deux points.
Une simulation
Le formulaire Javascript suivant calcule la distance moyenne obtenue après 50 000 simulations.
On constate après quelques essais que la moyenne obtenue est proche de 1/3 .
Tentative de justification
Sur la figure ci-contre, on a pris pour abscisse x(A) et pour ordonnée x(B).On appelle d la variable aléatoire mesurant la distance entre A et B.
On a colorié la zone qui correspond à d<k où k est un réel de [0;1]. En calculant l'aire de la zone coloriée, on trouve 1-(1-k)2=2k-k2. On en déduit p(d<k)=2k-k2=F(k) où F est la fonction de répartition de la loi d.
La fonction f=F ' est la densité de probabilité de d et f(x)=2-2x.
On obtient l'espérance de d avec
Un paradoxe
Un petit calcul utilisant la fonction F montre que la probabilité d'obtenir 0 < d < 0,05 (amplitude 0,05)
est supérieure à la probabilité d'obtenir 0,47 < d < 0,57 (amplitude 0,10).
En effet 0,098 > 0,096
fait le 27 mai 2008